CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH CHIA HẾT
I. Phép chia hết và phép chia có dư.
Với mọi cặp số tự nhiên a, b, b
0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất một cặp số tự nhiên q, r sao cho: A = bq + r (0
r < b)
Số q và r trong định lí về phép chia có dư nói trên lần lượt được gọi là thương và dư trong phép chia số a cho số b.
II. Phép đồng dư.
Cho m là một số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cùng cho một số dư khi chia cho m thì ta nói rằng a, b đồng dư với nhau theo mođun m và kí hiệu: a
b (mod m)
Giả sử số dư cùng là r thì ta có:
a = mq + r (1)
b = mq’ + r (2)
lúc đó a – b = m(q – q’) như vậy a – b chia hết cho m. vậy a
b(mod m)
a – b
m.
III. Dấu hiệu chia hết.
Một số tự nhiên sẽ:
Chia hếtcho 2 nếu nó là số chẵn, tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8
Chia hết cho 5 nếu tận cùng bằng 0 hoặc 5.
Chia hết cho 4 nếu số tạo bởi hai chử số cuối chia hết cho 4
Chia hết cho 8 nếu số tạo bởi 3 chử số tận cùng chia hết cho 8
Chia hết cho 25 nếu số tạo bởi hai chử số cuối cùng chia hết cho 25.
Chia hết cho125 nếu số tạo bởi 3 chử số cuối cùng chia hết cho 125.
Chia hết cho 3 nếu tổng của các chử số của số đó chia hết cho 3.
Chia hết cho 9 nếu tổng của các chử số đó chia hết cho 9
Chú ý: Số dư trong phép chia một số N cho 3 hoặc 9 cũng chính là dư trong phép chia tổng các chử số của N cho 3 hoặc 9.
Dạng 1. Xét mọi trường hợp có thể xảy ra của số dư.
Bài 1.Chứng minh tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
Giải. Giả sử A = n(n + 1), có 2 trường hợp
-Nếu n chẵn, thì n 2 do đó A chia hết cho 2.
- Nếu n lẻ thì n +1 chẵn do đó (n +1) chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2.
Bài 2. Chứng minh rằng

Giải.Xét các trường hợp về số dư khi chia n cho 5, ta có:
- Nếu số dư là 0 thì n = 5k và A(n)
5
- Nếu số dư là
1 thì ta có n = 5k
1 và n2 + 4 = (5k
1)2 + 4= 25k2
10k + 5
5.
- Nếu số dư là
2 thì ta có n = 5k
2 và n2 + 1 = ( 5k
2)2 + 4 = 25k2
20k + 4 + 1
5.
Vậy khi chia n cho 5 dù số dư là 0,
1,hay
2 biểu thức A(n) cũng đều chia hết cho 5.
Dạng 2: Tách thành tổng nhiều hạng tử.
Đây là một phương pháp khá thông dụng. Muốn chứng minh A(n) chia hết cho q , ta tách A(n) thành tổng của nhiều hạng tử sao cho mỗi hạng tử đều có thể chia hết cho q.
Bài 1.Chứng minh rằng n5 + 10n4 – 5n3 – 10n2 + 4n chia hết cho 120.
Giải.Ta tách biểu thức đã cho như sau:
A = n5 – 5n3 + 4n + 10n4 – 10n2 = n(n4 – 5n2 + 4) + 10n2(n2 – 1)
Hạng tử thứ nhất là : n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 1)(n2 – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
Đây là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3.4.5 = 120
Hạng tử thứ hai là: 10n2(n + 1)(n – 1). Có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3. hạng tử này chia hết cho 4 nếu n chẳn. Còn nếu n lẽ thì (n + 1) và n – 1 cũng chẳn nên tích (n + 1)(n – 1) cùng chia hết cho 4. Vậy hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 3.4.10 = 120 =>A là tổn của hai hạng tử chia hết cho 120 nên A cũng chia hết cho 120.
Bài 2.Chứng minh rằng với mọi m thuộc Z ta có m3 – 13m chia hết cho 6.
Giải. A = m3 – 13m