LATEX Toán – THPT 2018

Tuyển tập đề thi TS10 năm học 2024 – 2025

SỞ GD&ĐT NINH THUẬN KỲ THI TS VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ SỐ 1

Năm học: 2024 − 2025
Môn: Toán (Chuyên)
Thời gian: 120 (không kể phát đề)

L Câu 1 (1,5 điểm).√
√
√
2 x+1
x+3
2 x−9
√
Cho biểu thức Q = √
−√
+
với x ⩾ 0 và x ̸= 9, x ̸= 4.
x−3
x−2 x−5 x+6
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho Q nhận giá trị là số chẵn.
✍ HƯỚNG DẪN GIẢI.
a) Rút gọn biểu thức Q.
Ta có
√
√
√
x+3
2 x+1
2 x−9
√
Q= √
−√
+
x−3
x−2 x−5 x+6
√
√
√
x+3 2 x+1
2 x−9
√
−√
+ √
= √
( x − 2)( x − 3)
x−2
x−3
√
√
√
√
√
2 x − 9 − ( x + 3)( x − 3) + (2 x + 1)( x − 2)
√
√
=
( x − 2)( x − 3)
√
√
√
2 x − 9 − x + 9 + 2x − 4 x + x − 2
√
√
=
( x − 2)( x − 3)
√
√
√
√
( x − 2)( x + 1)
x− x−2
x+1
√
√
= √
=√
.
= √
( x − 2)( x − 3)
( x − 2)( x − 3)
x−3
b)

Tìm tất cả các số nguyên x sao cho Q nhận giá trị là số chẵn.
√
4
x−3+4
=1+ √
.
Ta có Q = √
x−3
x−3
√
Q nhận giá trị nguyên khi x − 3 là ước số của 4. Suy ra:
√
√
x − 3 = 4 ⇒ x = 7 ⇒ x = 49.
√
x − 3 = −4 (loại).
√
√
x − 3 = 2 ⇒ x = 5 ⇒ x = 25.
√
√
x − 3 = −2 ⇒ x = 1 ⇒ x = 1.
√
√
x − 3 = 1 ⇒ x = 4 ⇒ x = 16.
√
√
x − 3 = −1 ⇒ x = 2 ⇒ x = 4.
Vậy Q nhận giá trị chẵn khi x = 49.

□

1
1
√
√ .
+
5
(1 + 2)
(1 − 2)5
✍ HƯỚNG DẪN GIẢI.

L Câu 2 (1,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức S =

 Năm 2024

Trang 1/4

MaT-TS10-24-25

LATEX Toán – THPT 2018

√

Tuyển tập đề thi TS10 năm học 2024 – 2025

√

®

x 1 + x2 = 2
x1 · x2 = −1.
Ta có x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 6 và x31 + x32 = (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) = 14.
Từ hai phương trình trên, ta có:

Đặt x1 = 1 +

2, x2 = 1 −

2. Suy ra

(x21 + x22 )(x31 + x32 ) = x51 + x52 + x21 x22 (x1 + x2 ).
Suy ra x51 + x52 = (x21 + x22 )(x31 + x32 ) − x21 x22 (x1 + x2 ) = 82.
1
1
x5 + x5
82
Do đó S = 5 + 5 = 1 5 5 2 =
= −82.
x1 x2
x1 x2
(−1)5
® 3
3x = 2(x + 2y)
L Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2x3 + y 3 = 3(x + y).
✍ HƯỚNG DẪN GIẢI.

□

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được
x3 − y 3 = −x + y
⇔ (x − y)(x2 + xy + y 2 ) = x − y
⇔ (x − y)(x2 + xy + y 2 + 1) = 0
⇔ x = y.
y 2 3y 2
+ 1 > 0, ∀x, y)
(Vì x + xy + y + 1 = (x + ) +
2
4
√
Thay y = x vào phương trình (1), ta được 3x3 = 6x ⇔ x = 0 hoặc
x
=
±
√ √
√2. √
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là S = {(0; 0); ( 2; 2); (− 2; − 2)}.
2

2

□

L Câu 4 (1,5 điểm). Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A = n4 − 3n3 + 3n2 là số chính
phương.
✍ HƯỚNG DẪN GIẢI.
Xét 2 trường hợp sau:
• Với n = 0 ⇒ A = 0 là số chính phương.
• Với n ̸= 0 để A là số chính phương thì n2 − 3n + 3 là số chính phương.
Đặt n2 − 3n + 3 = k 2 , (k ∈ N) ⇒ 4 (n2 − 3n + 3) = 4k 2 ⇒ (2n − 3)2 + 3 = (2k)2 .
Suy ra (2n − 3 + 2k)(2n − 3 − 2k) = −3.
Vì k ∈ N, n ∈ Z ⇒ 2n − 3 + 2k ⩾ 2n − 3 − 2k nên ta được
®
®
2n − 3 + 2k = 3
n=2
⇒
2n − 3 − 2k = −1
k=1
®
®
2n − 3 + 2k = 1
n=1
hoặc
⇒
2n − 3 − 2k = −3
k = 1.
Vậy n ∈ {0; 1; 2}.

□

L Câu 5 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn
(O) lấy điểm C (AC > BC, C khác A, B). Các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau tại
M . Gọi H là giao điểm của OM và AC, K là giao điểm khác B của BM với (O).
a) Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp.
 Năm 2024

Trang 2/4

MaT-TS10-24-25

LATEX Toán – THPT 2018

Tuyển tập đề thi TS10 năm học 2024 – 2025

÷
b) Chứng minh HC là tia phân giác của góc KHB.
c) Đường thẳng qua O song song với AM cắt M C tại P , M C cắt AB tại Q. Chứng minh
rằng AM · QP = M P · QP + M P 2 .
✍ HƯỚNG DẪN GIẢI.
M

P
K
C

H

A

B

O

Q

a) Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp.
' = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AKM
÷ = 90◦ (1)
Ta có AKB
÷
Lại có M H ⊥ AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ M
HA = 90◦ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHKM nội tiếp.
÷
b) Chứng minh HC là tia phân giác của góc KHB.
÷
÷
÷
÷ (cùng chắn cung
Ta có M
HK = M
AK (cùng chắn cung M K) và M
AK = ABM
÷
'
AK). Suy ra M
HK = OBK
(3)
÷
'
÷
÷
Ta thấy KHO + OBK = KHO + N
HK = 180◦ ⇒ BOHK nội tiếp.
' = OKB
'
' = OBK
'
Nên OHB
(4) Lại có △OBK cân tại O nên OKB
(5)
' = OBK
'
Từ (4), (5) suy ra OHB
(6)
÷
' mà M
÷
' = 90◦ ⇒ KHC
÷ = BHC.
'
Từ (3), (6) suy raM
HK = OHB
HC = OHC
÷
Hay HC là tia phân giác của KHB.
c) Đường thẳng qua O song song với AM cắt M C tại P , M C cắt AB tại Q. Chứng
minh rằng AM · QP = M P · QP + M P 2 .
÷
÷
Vì OP ∥ AM nên AM
O=M
OP (hai góc so le trong).
÷
÷
Mà AM
O = OM
P (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
÷
÷
÷
Suy ra M OP = OM P (cùng bằng AM
O );
Do đó △M OP cân tại P ⇒ M P = OP .
Áp dụng định lý Ta-lét trong △AM Q ta có
AM
QM
AM − OP
QM − QP
AM
MP
AM
MP
=
⇒
=
⇒
−1=
⇒
−
= 1.
OP
QP
OP
QP
OP
QP
OP
QP
 Năm 2024

Trang 3/4

MaT-TS10-24-25

LATEX Toán – THPT 2018

Tuyển tập đề thi TS10 năm học 2024 – 2025

AM
MP
−
= 1.
MP
QP
Vậy AM · QP = M P · QP + M P 2 (đpcm).

Mặt khác M P = OP (cmt) nên

□
L Câu 6 (1,0 điểm).
4
4
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ä√ P = 3x −ä 2y
Äp+ 2xy − 2yä + 4x + 8y + 2027, với x, y là
hai số thực thỏa mãn điều kiện
x2 + 1 + x
y 2 + 1 + y = 1.
✍ HƯỚNG DẪN GIẢI.
Biến đổi giả thiết ta có:
Ä√
ä Äp
ä
x2 + 1 + x
y2 + 1 + y = 1
ä Ä√
ä Äp
ä Ä√
ä
Ä√
x2 + 1 + x
x2 + 1 − x
y2 + 1 + y =
x2 + 1 − x
⇔
ä √
p
√

Äp
⇔ x2 + 1 − x 2
y 2 + 1 + y = x2 + 1 − x ⇔ y 2 + 1 + y = x2 + 1 − x (1)
p
√
Tương tự, ta có x2 + 1 + x = y 2 + 1 − y. (2)
Cộng theo vế các dẳng thức (1), (2) và rút gọn ta được y = −x; Ta có
P = x4 − 4x2 − 4x + 2027
Ç
Ç
√ å2
√ å2
√
√
√
√
5
5
3
+
3
+
+ ( 5 − 1)x2 − 4x + ( 5 + 1) + 2027 −
− ( 5 + 1)
= x4 − (3 + 5)x2 +
2
2
å2
Ç
Ç
√
√ å2
√
√
4
4045 − 5 5
3+ 5
5+1
4045 − 5 5
+√
+
= x2 −
x−
⩾
.
2
2
2
2
5+1
Ç
√
√ å
√
1+ 5 1+ 5
4045 − 5 5
đạt được tại (x; y) =
;−
.
Vậy min P =
2
2
2

 Năm 2024

Trang 4/4

□

MaT-TS10-24-25