NGUYỄN MINH HIẾU

Tuyển tập đề thi

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
QUẢNG BÌNH
(2013-2024)

ĐỒNG HỚI 2023

Mục lục
PHẦN I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ĐỀ THI

1

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2023-2024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2022-2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2021-2022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2020-2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2017-2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2016-2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2015-2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2014-2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2013-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2012-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PHẦN II LỜI GIẢI

13

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

15
17
19
22
25
28
31
34
37
39

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2023-2024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2022-2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2021-2022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2020-2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2017-2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2016-2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2015-2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2014-2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2013-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2012-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nguyễn Minh Hiếu

ii

Phần

I
ĐỀ THI

1

Nguyễn Minh Hiếu

2

Nguyễn Minh Hiếu
| ĐỀ SỐ

Phần I. ĐỀ THI

1

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2023-2024
Câu 1.1 (2,5 điểm) Cho biểu thức A = √

1
4
+
, với a > 0 và a 6= 4.
a+2 a−4

a) Rút gọn biểu thức A.
1
b) Tìm tất cả các giá trị của A để A = .
2
Câu 1.2 (1,0 điểm) Giải phương trình x2 + 3x − 4 = 0.
Câu 1.3 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 3x + m − 3 = 0, (m là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm.
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x1 , x2 , tìm tất cả các của m để x1 , x2 thỏa mãn
hệ thức 2x1 x2 − (x1 + x2 ) = 2.
Câu 1.4 (1,0 điểm) Với x ∈ R, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 9x2 − 2|3x − 2| − 12x + 2028.

Câu 1.5 (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn đó
(C khác A và B). Lấy điểm E thuộc cung AC (E khác A và C) sao cho AE < BC, gọi M là giao điểm
của AC và BE. Kẻ M H vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh tứ giác BCM H nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác HCM .
c) Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh KE · KO = KC · KH.
——— Hết ———

3

2. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2022-2023
| ĐỀ SỐ

Nguyễn Minh Hiếu

2

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2022-2023
Câu 2.1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
√
√
√
a) A = 5 7 + 28 − 63.
√
√
a+2 a+1 a− a
√
b) B =
+ √
(với a > 0).
a+1
a
Câu 2.2 (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x − 2 đi qua điểm A(1; 3).
®
5x − 2y = 8
b) Giải hệ phương trình
x + 2y
= 4.
Câu 2.3 (2,0 điểm) Cho phương trình:
x2 + 2mx − 5 = 0

(1)

(với m là tham số).
a) Giải phương trình (1) với m = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x21 + x22 + 5x1 x2 = 1.
Câu 2.4 (1,0 điểm) Cho x, y > 0 và thỏa mãn x + y + 2xy = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x2 + y 2 .

Câu 2.5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
'.
b) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AD là phân giác của góc EDF
c) Đường thẳng đi qua D và song song với EF cắt AB, CF lần lượt tại I và J. Chứng minh D là
trung điểm IJ.
——— Hết ———

4

Nguyễn Minh Hiếu
| ĐỀ SỐ

Phần I. ĐỀ THI

3

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2021-2022
Câu 3.1 (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
√
√
√
a) A = 8 − 32 + 50.
√ ã Å
√ ã
Å
a+ a
a− a
b) B = 3 + √
· 3− √
(với a > 0, a 6= 1).
a+1
a−1
Câu 3.2 (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m − 1)x + 2 đồng biến trên R.
®
3x + 2y = 8
b) Giải hệ phương trình
3x − 4y = 2.
Câu 3.3 (2,0 điểm) Cho phương trình
x2 − 6x + m + 4 = 0

(1)

(với m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
2020 (x1 + x2 ) − 2021x1 x2 = 2014.
Câu 3.4 (1,0 điểm) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
a+b
1
p
p
> .
4
a(15a + b) + b(15b + a)
Câu 3.5 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, dây cung M N vuông góc với AB tại I
sao cho AI < BI. Trên đoạn thẳng M I lấy điểm H (H khác M và I), tia AH cắt đường tròn (O; R)
tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BIHK nội tiếp đường tròn.
b) Tam giác AHM đồng dạng với tam giác AM K.
c) AH · AK + BI · AB = 4R2 .
——— Hết ———

5

4. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2020-2021
| ĐỀ SỐ

Nguyễn Minh Hiếu

4

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2020-2021
4.1 (2,0 điểm) Cho biểu thức
P =

2x
3
3
+√
+√
x−9
x−3
x+3

(với x > 0, x 6= 9).

a) Rút gọn biểu thức P .
1
b) Tìm các giá trị của x để P = − .
2
4.2 (1,5 điểm) Cho hàm số
y = (m − 3)x + 2n − 5

(1)

có đồ thị là đường thẳng d (với m, n là tham số).
a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên R.
b) Tìm m, n để đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2) và B(−2; 4).
4.3 (2,0 điểm) Cho phương trình
x2 − 2(m + 1)x + m2 − 3 = 0

(2)

(với m là tham số).
a) Giải phương trình (2) với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m đề phương trình (2) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x21 + x22 − 2x1 x2 > 5.
4.4 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y 6 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=

x2

1
3
+
.
2
+y
xy

4.5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC) có đường cao AH (H ∈ BC). Trên nửa
mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn (O1 ) đường kính BH cắt AB tại I (I khác B) và
nửa đường tròn (O2 ) đường kính HC cắt AC tại K (K khác C). Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKHI là hình chữ nhật.
b) Tứ giác BIKC là tứ giác nội tiếp.
c) IK là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1 ) và (O2 ).
——— Hết ———

6

Nguyễn Minh Hiếu
| ĐỀ SỐ

Phần I. ĐỀ THI

5

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 5.1 (2,0 điểm) Cho biểu thức
√
√
ã
Å
1
m
m
√ ,
:
M= √ +√
m
m+1
m+ m

với m > 0.

a) Rút gọn biểu thức M .
b) Tìm các giá trị của m để M = 3.
Câu 5.2 (1,5 điểm)
®
a) Giải hệ phương trình

− x + 2y =1
3x + y

=4.

b) Cho hàm số y = (k + 1)x − 2k (k là tham số). Tìm các giá trị của k để đồ thị hàm số đi qua điểm
A(3; 4).
Câu 5.3 (2,0 điểm) Cho hàm số y =

1 2
x có đồ thị (P ) và y = −kx + 2k + 1 (k là tham số) có đồ thị
4

là đường thẳng (d).
a) Vẽ đồ thị (P ).
b) Tìm các giá trị nguyên của k để (d) cắt (P ) tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn
x21 x2 + x1 x22 = 16.
Câu 5.4 (1,0 điểm) Cho x, y > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
√
(x + y)2 x + y
√
+
> x y + y x.
2
4
Câu 5.5 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường kính M N cố định. Gọi I là trung điểm OM ,
dây cung P Q đi qua I và P Q ⊥ M N . Gọi H là điểm thay đổi trên cung nhỏ P N (H khác P , N ), M H
cắt P Q tại K.
a) Chứng minh N HKI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh M K · M H không đổi.
c) Gọi S là giao điểm của HQ với đường tròn ngoại tiếp tam giác M KQ, gọi T là giao điểm của
M H với P S. Chứng minh khi H di động trên cung nhỏ P N thì T di động trên một đường tròn
cố định.
——— Hết ———

7

6. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2016-2017
| ĐỀ SỐ

Nguyễn Minh Hiếu

6

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2016-2017
Câu 6.1 (2,0 điểm) Cho biểu thức
Å
A=

ã
1
1
1
√
·√
+√
a−1
a+1
a

với a > 0 và a 6= 1.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A = 1.
Câu 6.2 (1,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình

®
2x − 3y

= 1

4x + y

= 9.

b) Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 3 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để hàm số đồng
biến.
Câu 6.3 (2,0 điểm) Cho phương trình
x2 − 6x + m = 0

(1)

(m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = 5.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:




x21 + 1 x22 + 1 = 36.
Câu 6.4 (1,0 điểm) Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn
ab(a + b)2 6

√

a+

√

b = 1. Chứng minh rằng:

1
.
64

Câu 6.5 (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và M là một điểm nằm bên ngoài đường
tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi E là giao điểm
của AB và OM .
a) Chứng minh tứ giác M AOB nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Tính độ dài đoạn thẳng AB và M E, biết OM = 5 cm và R = 3 cm.
c) Kẻ tia M x nằm trong góc AM O cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M
÷
'
và D). Chứng minh rằng M
EC = OED.
——— Hết ———

8

Nguyễn Minh Hiếu
| ĐỀ SỐ

Phần I. ĐỀ THI

7

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2015-2016
7.1 (2,0 điểm) Cho biểu thức
A=

1
1
4x + 2
−
+ 2
x−1 x+1 x −1

với x 6= ±1.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x khi A =

4
.
2015

7.2 (1,5 điểm) Cho hàm số y = (m − 1)x + m + 3 với m 6= 1 (m là tham số).
a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm M (1; −4).
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đường thẳng d : y = −2x + 1.
7.3 (2,0 điểm) Cho phương trình
x2 − (2m + 1)x + m2 + m − 2 = 0

(1)

(m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:
x1 (x1 − 2x2 ) + x2 (x2 − 3x1 ) = 9.
7.4 (1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x > y và xy = 1. Chứng minh rằng:

2
x2 + y 2
> 8.
(x − y)2
7.5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao
BD và CE cắt đường tròn O theo thứ tự tại P và Q (P 6= B và Q 6= C)
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh HB · HP = HC · HQ.
c) Chứng minh OA vuông góc với DE.
——— Hết ———

9

8. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2014-2015
| ĐỀ SỐ

Nguyễn Minh Hiếu

8

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2014-2015
Câu 8.1 (2,0 điểm) Cho biểu thức A = √

1
1
x
+√
+
, với x > 0; x 6= 4.
x+2
x−2 x−4

a) Rút gọn biểu thức A.
√
2
b) Tính giá trị của biểu thức A − √ khi x = 7 + 4 3.
3
®
2x + 3y = 7
Câu 8.2 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau:
5x − 6y = 4.
Câu 8.3 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 − mx + m − 1 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 3.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho biểu thức
T = (x1 − x2 )2 + x1 x2
đạt giá trị nhỏ nhất.
1 1
+ = 2. Chứng minh rằng:
a b
√
√
a
b
1
√ 6 .
√ +
2
a2 + b + 2b a b2 + a + 2a b

Câu 8.4 (1,0 điểm) Cho a, b > 0 thỏa mãn điều kiện

Câu 8.5 (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm M sao
cho AM < BM (M 6= A). Các tiếp tuyến tại B và M của đường tròn (O) cắt nhau ở điểm C, BM cắt
OC tại E. Đường thẳng qua M vuông góc với AB tại H. Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại F ,
cắt M H tại N .
a) Chứng minh tứ giác BHN F nội tiếp.
b) Chứng minh CF · CA = CE · CO.
c) Chứng minh N là trung điểm M H.
——— Hết ———

10

Nguyễn Minh Hiếu
| ĐỀ SỐ

Phần I. ĐỀ THI

9

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2013-2014
Câu 9.1 (2,0 điểm) Cho biểu thức
Å
A=

ã Å
ã
1
1
1
√
· 1−
+√
,
x
x−1
x+1

với x > 0; x 6= 1.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
®
2x + y = 5
Câu 9.2 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau:
x − 3y = − 1.
Câu 9.3 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + (2m − 1)x + 2(m − 1) = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:
x1 (x2 − 5) + x2 (x1 − 5) = 33.
Câu 9.4 (1,0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:




P = x4 + 1 y 4 + 1 + 2013.

Câu 9.5 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau với đường tròn (O). Gọi
A là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d. Đường thẳng đi qua A (không đi qua O) cắt
đường tròn (O) tại B và C (B nằm giữa A, C). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt đường
thẳng d lần lượt tại D và E. Đường thẳng BD cắt OA, CE lần lượt ở F và M , OE cắt AC ở N .
a) Chứng minh tứ giác AOCE nội tiếp.
b) Chứng minh AB · EN = AF · EC.
c) Chứng minh A là trung điểm DE.
——— Hết ———

11

10. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2012-2013
| ĐỀ SỐ

Nguyễn Minh Hiếu

10

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2012-2013
Câu 10.1 (2,0 điểm) Cho biểu thức A =

1
2
1
+
+ 2
.
x x−1 x −x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
®
x + 3y
Câu 10.2 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau:
− x + 2y

= 3
= 7.

Câu 10.3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình x2 − 2x − 3 = 0.
b) Tìm m để phương trình x2 − 2x + m = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = 8.
Câu 10.4 (1,0 điểm) Cho các số thực a, b thỏa mãn a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = a3 + b3 + a2 + b2 .

Câu 10.5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC đều có AH là đường cao, M là điểm bất kì trên cạnh BC
(M khác B, C). Từ M vẽ M P vuông góc AB, M Q vuông góc AC (P thuộc AB, Q thuộc AC).
a) Chứng minh A, P , M , H, Q cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi O là trung điểm của AM . Chứng minh các tam giác OP H và OQH là tam giác đều, từ đó
suy ra OH ⊥ P Q.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn P Q khi M chạy trên cạnh BC, biết độ dài cạnh của tam giác ABC
là a.

12

Phần

II
LỜI GIẢI

13

Nguyễn Minh Hiếu

14

Nguyễn Minh Hiếu
| ĐỀ SỐ

Phần II. LỜI GIẢI

1

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2023-2024
Câu 1.1.
a) Với a > 0 và a 6= 4, ta có
A =
=
=
=
Vậy A = √

1
4
√
+ √
a + 2 ( a + 2) ( a − 2)
√
a−2
4
√
√
√
+ √
( a + 2) ( a − 2) ( a + 2) ( a − 2)
√
a−2+4
√
√
( a + 2) ( a − 2)
1
√
.
a−2
√

1
.
a−2

b) Với a > 0 và a 6= 4, ta có
A=

√
√
1
1
1
⇔√
= ⇔ a − 2 = 2 ⇔ a = 4 ⇔ a = 16.
2
2
a−2

1
Vậy với a = 16 thì A = .
2

Câu 1.2. Vì a + b + c = 1 + 3 + (−4) = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và
x2 = −4.

Câu 1.3.
a) Ta có ∆ = 9 − 4(m − 3) = 21 − 4m. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
∆ > 0 ⇔ 21 − 4m > 0 ⇔ m 6
Vậy m 6
b) Với m 6

21
.
4

21
thì phương trình đã cho có hai nghiệm
4
21
, phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 . Theo định lí Vi-ét, ta có
4
x1 + x2 = −3;

x1 x2 = m − 3.

Khi đó
2x1 x2 − (x1 + x2 ) = 2 ⇔ 2(m − 3) − (−3) = 2 ⇔ 2m = 5 ⇔ m =
Vậy m =

5
2

(thỏa mãn).

5
thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2

15

1. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2023-2024

Nguyễn Minh Hiếu

Câu 1.4. Với x ∈ R, ta có
P

= 9x2 − 12x + 4 − 2|3x − 2| + 2024
= (3x − 2)2 − 2|3x − 2| + 1 + 2023
= (|3x − 2| − 1)2 + 2023.

Vì (|3x − 2| − 1)2 > 0, ∀x ∈ R nên P > 2023. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

ñ
x=1
3x − 2 = 1
|3x − 2| = 1 ⇔
⇔
1
3x − 2 = −1
x= .
3
1
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2023 khi x = 1 hoặc x = .
3



Câu 1.5.
C

E
M

K
A

H

O

B

' = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra M
÷
÷
a) Ta có ACB
CB = 90◦ . Lại có M
HB = 90◦ .
÷
÷
Tứ giác BCM H có M
CB + M
HB = 90◦ + 90◦ = 180◦ nên nội tiếp.
÷
÷
÷
' Lại có EBA
' = ECA
' (góc nội
b) Tứ giác BCM H nội tiếp nên M
CH = M
BH, hay M
CH = EBA.
˜
tiếp cùng chắn cung EA). Từ đó suy ra
÷
'
M
CH = ECA.

(1)

÷
÷
÷
' Lại có EBC
' = EAC
' (góc nội
Tứ giác BCM H nội tiếp nên M
HC = M
BC, hay M
HC = EBC.
˜
tiếp cùng chắn cung EC). Từ đó suy ra
÷
'
M
HC = EAC.

(2)

Từ (1) và (2), ta có 4ACE v 4HCM .
' = 2 · ACE
' (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AE).
˜ Lại có ECH
' = ECA
'+
c) Ta có AOE
' = 2 · ECA.
' Từ đó suy ra AOE
' = ECH,
' hay HOK
÷ = ECK.
' Mặt khác HKO
÷ = EKC
' (đối
ACH
đỉnh). Do đó 4KOH v 4KCE, suy ra
KO
KH
=
⇔ KO · KE = KH · KC.
KC
KE
Ta có đẳng thức cần chứng minh.


16

Nguyễn Minh Hiếu
| ĐỀ SỐ

Phần II. LỜI GIẢI

2

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2022-2023
Câu 2.1.
a) Ta có

√
√
√
√
A = 5 7 + 2 7 − 3 7 = 4 7.

√
Vậy A = 4 7.
b) Với a > 0, ta có

B =
=
=
=

√
√
√
√
( a)2 + 2 a + 1 ( a)2 − a
√
√
+
a+1
a
√
√ √
2
( a + 1)
a ( a − 1)
√
√
+
a+1
a
√
√
a+1+ a−1
√
2 a.

√
Vậy B = 2 a.

Câu 2.2.
a) Vì đồ thị hàm số y = (m + 1)x − 2 đi qua điểm A(1; 3) nên ta có
3 = (m + 1) · 1 − 2 ⇔ 3 = m − 1 ⇔ m = 4.
Vậy với m = 4 thì đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(1; 3).
b) Ta có
®
5x − 2y = 8
x + 2y = 4

⇔

®
6x = 12
x + 2y = 4

⇔

®
x=2
2 + 2y = 4

⇔

®
x=2
y = 1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1).

Câu 2.3.
a) Thay m = 2 vào phương trình (1), ta có x2 + 4x − 5 = 0. Ta thấy a + b + c = 1 + 4 + (−5) = 0
nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = −5.
b) Ta thấy ac = −5 < 0, ∀m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi giá
trị của m. Theo định lí Vi-ét, ta có
x1 + x2 = −2m;

x1 x2 = −5.

Khi đó
x21 + x22 + 5x1 x2 = 1 ⇔ (x1 + x2 )2 + 3x1 x2 = 1
⇔ (−2m)2 + 3(−5) = 1
⇔ 4m2 = 16
⇔ m = ±2.
Vậy với m = 2 hoặc m = −2 thì (1) có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
17

2. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2022-2023

Nguyễn Minh Hiếu


Câu 2.4. Vì x, y > 0 nên theo bất đẳng thức AM − GM , ta có
x2 + 1 > 2x;

y 2 + 1 > 2y;



x2 + y 2 > 2xy hay 2 x2 + y 2 > 4xy.

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có
3(x2 + y 2 ) + 2 > 2(x + y + 2xy) ⇒ x2 + y 2 > 2.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y = 1.



Câu 2.5.
A

E

F
H
J

B

D

C

I

' = 90◦
a) Do BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên BE ⊥ AC và CF ⊥ AB. Khi đó AEH
'
' + AF
'
và AF
H = 90◦ . Tứ giác AEHF có AEH
H = 180◦ nên tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Do H là giao điểm của các đường cao BE và CF nên H là trực tâm của tam giác ABC. Mặt
÷ + BF
'
khác D là giao điểm của AH và BC nên AD ⊥ BC. Tứ giác BDHF có BDH
H = 180◦
nên tứ giác BDHF nội tiếp, suy ra
F'
BH = F'
DH.
(1)
' = AEB
' = 90◦ nên tứ giác ABDE nội tiếp, suy ra
Tương tự, tứ giác ABDE có ADB
' = ADE.
'
ABE

(2)

' = ADF
' . Vậy AD là phân giác của góc EDF
'.
Từ (1) và (2) ta có ADE
'
'
'
c) Chứng minh tương tự câu b), ta cũng có F C là phân giác của DF
E, suy ra DF
C = EF
C. Lại
'
'
'
'
có IJ k EF nên EF
C=F
JD. Từ đó suy ra DF
C=F
JD nên tam giác DF J cân tại D, suy ra
DJ = DF.

(3)

'
'
'
'
Mặt khác F C ⊥ AB nên suy ra IF
D = AF
E. Lại có IJ k EF nên AF
E=F
ID. Từ đó suy ra
'
'
IF D = F ID nên tam giác DIF cân tại D, suy ra
DI = DF.

(4)

Từ (3) và (4), suy ra DJ = DI, hay D là trung điểm IJ.

18

Nguyễn Minh Hiếu
| ĐỀ SỐ

Phần II. LỜI GIẢI

3

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2021-2022
Câu 3.1.
a) Ta có
A=

√

4·2−

√

16 · 2 +

√

√
√
√
√
25 · 2 = 2 2 − 4 2 + 5 2 = 3 2.

√
Vậy A = 3 2.
b) Với a > 0, a 6= 1, ta có
√ √
√ √
ã Å
ã
Å
a ( a + 1)
a ( a − 1)
· 3− √
B =
3+ √
a+1
a−1
√

√

= 3+ a · 3− a
= 9 − a.
Vậy B = 9 − a (với a > 0, a 6= 1).

Câu 3.2.
a) Hàm số y = (m − 1)x + 2 đồng biến trên R khi và chỉ khi
m − 1 > 0 ⇔ m > 1.
Vậy m > 1 thì hàm số đã cho đồng biến trên R.
b) Ta có
®

3x + 2y = 8
3x − 4y = 2

®
⇔

3x + 2y = 8
6y = 6

®
⇔

3x + 2 · 1 = 8
y=1

®
⇔

x=2
y = 1.

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1).

Câu 3.3.
a) Với m = 1, phương trình (1) trở thành
x2 − 6x + 5 = 0.
Phương trình (2) có a + b + c = 1 + (−6) + 5 = 0 nên có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 5.
b) Ta có
∆0 = (−3)2 − 1 · (m + 4) = 9 − m − 4 = 5 − m.
Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 khi và chỉ khi
∆0 > 0 ⇔ 5 − m > 0 ⇔ m 6 5.
Theo định lý Vi-ét, ta có
x1 + x2 = 6;

x1 x2 = m + 4.

Do đó
2020 (x1 + x2 ) − 2021x1 x2 = 2014 ⇔ 2020 · 6 − 2021(m + 4) = 2014
19

(2)

3. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2021-2022

Nguyễn Minh Hiếu

⇔ 12120 − 2021m − 8084 = 2014
⇔ 2021m = 2022
2022
⇔ m=
(thỏa mãn).
2021
Vậy với m =

2022
thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2021


Câu 3.4. Áp dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có
»
a(15a + b) =
»
b(15b + a) =

1»
1 16a + (15a + b)
1
16a(15a + b) 6 ·
= (31a + b);
4
4
2
8
1»
1 16b + (15b + a)
1
16b(15b + a) 6 ·
= (31b + a).
4
4
2
8

(1)
(2)

Cộng theo vế (1) và (2), ta có
»
»
1
a(15a + b) + b(15b + a) 6 (31a + b + 31b + a) = 4(a + b).
8
Từ đó suy ra
a+b
a+b
1
a+b
p
p
p
>
⇔p
> .
4(a + b)
4
a(15a + b) + b(15b + a)
a(15a + b) + b(15b + a)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
®

16a = 15a + b
16b = 15b + a

⇔ a = b.

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh.



Câu 3.5.
K

M

H
A

I

B
O

N

' = 90◦ . Lại có HKB
÷ = 90◦ (góc chắn nửa đường tròn). Tứ giác BIHK
a) Ta có M N ⊥ AB ⇒ HIB
' + HKB
÷ = 180◦ , suy ra BIHK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
có HIB
b chung. Lại có AM
÷
÷ (góc nội tiếp tương ứng
b) Xét hai tam giác AHM và AM K có A
H = AKM
chắn hai cung AM và AN bằng nhau). Vậy 4AHM v 4AM K (g.g).
c) Theo câu b) có 4AHM v 4AM K, suy ra
AH
AM
=
⇔ AH · AK = AM 2 .
AM
AK
20

(1)

Nguyễn Minh Hiếu

Phần II. LỜI GIẢI

b chung. Lại có AM
'I = ABM
÷ (góc nội tiếp tương ứng chắn
Xét hai tam giác AIM và AM B có A
hai cung AM và AN bằng nhau). Do đó 4AM I v 4ABM , suy ra
AM
AI
=
⇔ AM 2 = AB · AI.
AB
AM

(2)

Từ (1) và (2), suy ra AH · AK = AB · AI, do đó
AH · AK + BI · AB = AB · AI + BI · AB = AB · (AI + BI) = AB 2 = (2R)2 = 4R2 .
Ta có đẳng thức cần chứng minh.


21

4. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2020-2021
| ĐỀ SỐ

Nguyễn Minh Hiếu

4

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2020-2021
Câu 4.1.
a) Với x > 0, x 6= 9, ta có
P

=
=
=
=
=

√
√
2x
3 ( x + 3)
3 ( x − 3)
√
√
√
√
+ √
+ √
( x − 3) ( x + 3) ( x − 3) ( x + 3) ( x + 3) ( x − 3)
√
√
2x + 3 x + 9 + 3 x − 9
√
√
( x − 3) ( x + 3)
√ 2
√
2 ( x) + 6 x
√
√
( x − 3) ( x + 3)
√ √
2 x ( x + 3)
√
√
( x − 3) ( x + 3)
√
2 x
√
.
x−3

√
2 x
Vậy P = √
.
x−3
b) Với x > 0, x 6= 9, ta có
√
√
√
√
1
1
2 x
3
9
√
=− ⇔4 x=− x+3⇔ x= ⇔x=
P =− ⇔
2
2
5
25
x−3
Vậy với x =

(thỏa mãn).

9
1
thì P = − .
25
2


Câu 4.2.
a) Ta xét hai trường hợp sau:
TH1: m − 3 = 0 ⇔ m = 3, ta có y = 2n − 5 là hàm số không đổi, suy ra m = 3 không thỏa mãn
yêu cầu bài toán.
TH2: m − 3 6= 0 ⇔ m 6= 3, khi đó hàm số (1) là hàm số bậc nhất, do đó hàm số (1) đồng biến
trên R khi và chỉ khi m − 3 > 0 ⇔ m > 3.
Vậy với m > 3 thì hàm số (1) đồng biến trên R.
b) Vì d đi qua hai điểm A(1; 2) và B(−2; 4) nên suy ra
®
®
2 = (m − 3)1 + 2n − 5
m + 2n = 10
(3)
⇔
4 = (m − 3)(−2) + 2n − 5
2m − 2n = −3. (4)
Cộng theo vế (3) và (4), ta có
3m = 7 ⇔ m =

7
26
⇒n= .
3
3

7
26
Vậy với m = , n =
thì d đi qua hai điểm A, B.
3
3
22

Nguyễn Minh Hiếu

Phần II. LỜI GIẢI


Câu 4.3.
a) Với m = 1, phương trình (2) trở thành x2 − 4x − 2 = 0. Ta có ∆0 = 22 − 1 · (−2) = 6 > 0, do đó
phương trình có hai nghiệm phân biệt
√
√
x1 = 2 + 6; x2 = 2 − 6.
b) Ta có
∆0 = (m + 1)2 − (m2 − 3) = 2m + 4.
Phương trình (2) có hai nghiệm khi và chỉ khi
∆0 > 0 ⇔ 2m + 4 > 0 ⇔ m > −2.
Khi đó (2) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x1 + x2 = 2(m + 1);

x1 x2 = m2 − 3.

(5)

Theo giả thiết, ta có
x21 + x22 − 2x1 x2 > 5 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 > 5.

(6)

Thay (5) vào (6), ta có


11
4(m + 1)2 − 4 m2 − 3 > 5 ⇔ 8m + 16 > 5 ⇔ m > −
8
Vậy với m > −

(thỏa mãn).

11
thì phương trình (2) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
8


Câu 4.4. Trước hết, ta chứng minh các bất đẳng thức
1 1
4
+ >
,
a b
a+b
ab 6

(a + b)2
4

đúng với mọi a, b > 0.
Thật vậy, với mọi a, b > 0, áp dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có
…
Å
ã
Å
ã
√
1 1
1 1
1 1
4
1
(a + b)
+
> 2 ab · 2
⇔ (a + b)
+
>4⇔ + >
⇒ (1) đúng.
a b
ab
a b
a b
a+b
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Lại có
(2) ⇔ 4ab 6 a2 + 2ab + b2 ⇔ (a − b)2 > 0 (đúng).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Khi đó, ta có
Q =
>

>

1
1
5
+
+
2
+y
2xy 2xy
4
5
+
2
2
x + y + 2xy
(x + y)2
2·
4
4
10
+
(x + y)2 (x + y)2
x2

23

(1)
(2)

4. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2020-2021

Nguyễn Minh Hiếu

14
(x + y)2
> 14.

>

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

®
x=y
x+y =1

1
⇔x=y= .
2



Câu 4.5.
A

I
O
K

B

O1

H

O2

C

' = 90◦ , HKC
÷ = 90◦ . Do đó tứ giác AIHK có IAK
' = AIH
' = AKH
÷ = 90◦ , suy ra
a) Ta có BIH
AIHK là hình chữ nhật.
' = AHI
' (cùng chắn cung AI). Lại có AHI
' = ABH
' (góc có
b) Vì AIHK là hình chữ nhật nên AKI
'
'
cạnh tương ứng vuông góc). Từ đó suy ra AKI = ABH. Xét tứ giác BIKC có
' + IBC
' = IKC
' + IKA
' = 180◦ .
IKC
Vậy tứ giác BIKC là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi O là giao điểm của AH và IK, ta có 4OIH cân tại O, suy ra
' = OHI.
'
OIH

(1)

1
÷
÷
IO1 = BH ⇒ O1 I = O1 H ⇒ O
1 IH = O1 HI.
2

(2)

Lại có

Từ (1) và (2), suy ra
◦
' ÷
÷
'1 = OIH
'+O
÷
OIO
1 IH = OHI + O1 HI = OHO1 = 90 .

Do đó IK là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O1 ). Chứng minh tương tự, ta có IK là tiếp tuyến
của nửa đường tròn (O2 ). Vậy, IK là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1 ) và (O2 ).


24

Nguyễn Minh Hiếu
| ĐỀ SỐ

Phần II. LỜI GIẢI

5

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 5.1.
a) Với m > 0, ta có
√
√
√
ã
m+1
m· m
m
√ √
√
:√ √
+ √
m ( m + 1) ( m + 1) m
m ( m + 1)
√ √
√
m+1+m
m ( m + 1)
√ √
√
·
m ( m + 1)
m
√
m+1+m
√
.
m
√

Å
M

=
=
=

√
Vậy M =

m+1+m
√
.
m

b) Với m > 0, ta có
√

M =3 ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

m+1+m
√
=3
m
√
√
m+1+m=3 m
√
2
√
m −2 m+1=0

2
√
m−1 =0
√
m=1

⇔ m = 1 (thỏa mãn).
Vậy với m = 1 thì M = 3.

Câu 5.2.
a) Ta có
®

− x + 2y = 1
3x + y = 4

®
⇔

− 3x + 6y = 3
3x + y = 4

⇔

®
7y = 7
3x + y = 4

⇔

®
y=1
x = 1.

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 1).
b) Đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(3; 4) khi và chỉ khi
4 = (k + 1)3 − 2k ⇔ 4 = 3k + 3 − 2k ⇔ k = −1.
Vậy với k = −1 thì đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(3; 4).

Câu 5.3.
a) Tập xác định D = R.
Đồ thị (P ) là parabol có đỉnh là gốc tọa độ, quay bề lõm lên trên và đi qua các điểm (2; 1) và
(−2; 1).
25

5. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2017-2018
y
y=

Nguyễn Minh Hiếu
1 2
x
4

1

−2

O

2

x

b) Hoành độ giao điểm của (d) và (P ) là nghiệm của phương trình
1 2
x = −kx + 2k + 1 ⇔ x2 + 4kx − 8k − 4 = 0.
4

(1)

Ta có
∆0 = (2k)2 − (−8k − 4) = 4k 2 + 8k + 4 = 4(k + 1)2 > 0, ∀k ∈ R.
Khi đó (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x1 + x2 = −4k;

x1 x2 = −8k − 4.

Theo giả thiết, ta có
x21 x2 + x1 x22 = 16 ⇔ x1 x2 (x1 + x2 ) = 16
⇔ (−8k − 4)(−4k) = 16
⇔ 32k 2 + 16k = 16
⇔ 2k 2 + k − 1 = 0

k = −1
⇔ 
1
(loại vì k ∈ Z).
k=
2
Vậy với k = −1 thì (d) cắt (P ) tại hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5.4. Với a, y > 0, theo bất đẳng thức AM − GM , ta có
(x + y)2 x + y
+
2
4

=
=
>
>

Å
ã
x+y
1
x+y+
2
2
ïÅ
ã Å
ãò
1
1
x+y
x+
+ y+
2
4
4


√
√
√
xy x + y
√
√
x y + y x.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x=y





1
x = ⇔ x = y = 1.
4

4


1

y =
4
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh.



Câu 5.5.
26

Nguyễn Minh Hiếu

Phần II. LỜI GIẢI
P
H

T
K
M

I

O
N
S

Q

÷ + KIN
' = 90◦ + 90◦ = 180◦ . Do đó tứ giác N HKI nội tiếp trong một đường tròn.
a) Ta có KHN
b) Xét hai tam giác vuông M HN và M IK có góc M chung, do đó 4M HN v 4M IK (g.g). Từ đó
suy ra
MH
MN
=
MI
MK

⇔ MH · MK = MN · MI
1
⇔ M H · M K = 2R · R
2
⇔ M H · M K = R2 .

Vậy M H · M K không đổi.
c) Vì S nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác M KQ nên tứ giác M KSQ nội tiếp. Suy ra
' = KM
÷
' = KM
÷
KQS
S (góc nội tiếp chắn cung KS). Lại có KQS
P (góc nội tiếp chắn cung H).
÷
÷
'
÷=P
÷
Từ đó suy ra KM
S = KM
P ⇒ M H là phân giác của SM
P . Mặt khác SHM
HM (góc nội
' . Như vậy M H là trung trực
tiếp chắn hai cung bằng nhau). Do đó HM là phân giác của QHP
◦
÷
của P S, hay M T P = 90 . Từ đó suy ra T nằm trên đường tròn đường kính M P .


27

6. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quảng Bình năm học 2016-2017
| ĐỀ SỐ

Nguyễn Minh Hiếu

6

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
NĂM HỌC 2016-2017
Câu 6.1.
a) Với a > 0 và a 6= 1, ta có
√
√
ã
1
a+1
a−1
√
√
√
·√
+ √
( a − 1) ( a + 1) ( a + 1) ( a − 1)
a
√
√
a+1+ a−1
1
√
√
·√
( a − 1) ( a + 1)
a
√
2 a
1
·√
a−1
a
2
.
a−1

Å
A =
=
=
=
Vậy A =

2
.
a−1

b) Với a > 0 và a 6= 1, ta có
A=1⇔

2
= 1 ⇔ 2 = a − 1 ⇔ a = 3 (thỏa mãn).
a−1

Vậy với a = 3 thì A = 1.

Câu 6.2.
a) Ta có
®

2x − 3y = 1
4x + y = 9

®
⇔

4x − 6y = 2
4x + y = 9

®
⇔

− 7y = −7
4x + y = 9

®
⇔

y=1
x = 2.

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1).
b) Hàm số đã cho đồng biến khi và chỉ khi m − 1 > 0 ⇔ m > 1.

Câu 6.3.
a) Với m = 5, phương trình (1) trở thành
x2 − 6x + 6 = 0.
Phương trình (2) có a + b + c = 1 + (−6) + 5 = 0 nên có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 5.
b) Ta có
∆0 = (−3)2 − 1 · m = 9 − m.
Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi
∆0 > 0 ⇔ 9 − m > 0 ⇔ m 6 9.
Khi đó (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x1 + x2 = 6;
28

x1 x2 = m.

(2)

Nguyễn Minh Hiếu

Phần II. LỜI GIẢI

Theo giả thiết, ta có
x21 + 1






x22 + 1 = 36 ⇔ (x1 x2 )2 + x21 + x22 + 1 = 36
⇔ (x1 x2 )2 + (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 − 35 = 0
⇔ m2 + 36 − 2m − 35 = 0
⇔ (m − 1)2 = 0
⇔ m = 1 (thỏa mãn).

Vậy với m = 1 thì (1) có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6.4. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
√

1
ab(a + b) 6 .
8

Áp dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có
√

1 √
1
ab(a + b) = · 2 ab(a + b) 6 ·
2
2

Ç √
å2
√ ä4 1
2 ab + a + b
1 Ä√
=
a+ b = .
2
8
8

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Ä
( √
√ ä
 √a − b 2 = 0
√
2 ab = a + b
√
1
1
⇔ √
⇔ a= b= ⇔a=b= .
√
√
√
 a+ b=1
2
4
a+ b=1
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh.



Câu 6.5.
A
D

C
M

E

O

B

a) Theo tính chất tiếp tuyến ta có M A ⊥ AO, M B ⊥ BO. Do đó
÷
÷
÷
÷
M
AO = M
BO = 90◦ ⇒ M
AO + M
BO = 90◦ + 90◦ = 180◦ .
Vậy tứ giác M AOB nội tiếp trong một đường tròn.
b) Tam giác M AO vuông tại A, suy ra
MA =

p
M O2 − AO2 = 4.

Theo tính chất tiếp tuyến kẻ từ một điểm, ta có M A = M B. Mặt khác OA = OB, suy ra M O là
đường trung trực của AB, suy ra M O ⊥ AB. Do đó E trung điểm AB...